뉴턴과 라이프니츠 — 미적분의 탄생과 30 년의 우선권 논쟁

17 세기 과학 혁명의 정점 — 미적분

이전 글 [데카르트 · 페르마] 에서 본 17 세기 전반의 좌표 기하와 극대 · 극소법을 토대로, 17 세기 후반에는 미적분 이라는 통합적인 수학 장치 가 탄생한다. 두 명의 독립 발명자가 뉴턴 (1643-1727) 과 라이프니츠 (1646-1716).

• 발견 시기 — 뉴턴이 먼저 (1665-66 vs 1675)
• 공표 시기 — 라이프니츠가 먼저 (1684 vs 1704)
• 표기의 승자 — 라이프니츠 완승 (현대까지 사용되는 ∫, dy/dx)
• 정치적 승자 — 왕립 협회를 장악한 뉴턴
• 역사적 평가 — 독립 발견 이 정설

이 두 사람의 발견 · 논쟁 · 유산이, 현대 수학의 기본 장치를 만들어냈다.

아이작 뉴턴 — 「기적의 해」 의 천재

아이작 뉴턴 (Isaac Newton, 1643-1727) 은 잉글랜드의 수학자 · 물리학자 · 천문학자 · 자연 철학자. 물리학자로서의 측면 (만유인력, 운동 법칙, 광학) 은 별도로 있지만, 본 글에서는 수학자 뉴턴 에 좁힌다.

생애의 요점

• 1643 년 1 월 4 일 — 울스소프에서 탄생
• 1661 — 케임브리지 대학 트리니티 칼리지 입학. 배로의 강의 에 출석
• 1664-65 — 데카르트 [기하학], 월리스 [무한 산술] 을 독학
• 1665-66 — 페스트 유행으로 귀향. 경이의 해 (annus mirabilis) — 미적분 · 만유인력 · 광학을 착상
• 1669 — [무한 항을 갖는 방정식에 의한 해석에 대해 (De Analysi)] 탈고. 루카스 교수직 취임, 26 세
• 1687 — [프린키피아] 출판
• 1704 — [광학] 부록으로 [곡선의 구적에 대해] [삼차 곡선의 매거] 를 출판 (미적분 관련으로 첫 공식 출판물)
• 1711 년 이후 — 왕립 협회 명의의 조사 위원회를 조직해, 라이프니츠를 비난
• 1727 년 3 월 20 일 — 사망, 웨스트민스터 사원에 매장

「기적의 해」 (annus mirabilis) — 1665-66

22-23 세의 뉴턴 이, 페스트 때문에 케임브리지가 폐쇄되어, 고향 울스소프로 돌아간 1 년 반 남짓의 사이에, 미적분 · 만유인력 · 광학 을 동시에 발견했다고 여겨지는 기간.

• 미적분 — 유율법 (방법명) 의 기초
• 만유인력 — 유명한 「사과가 떨어진다」 의 일화 (진위는 여러 설)
• 광학 — 프리즘에 의한 백색광의 분광, 스펙트럼 이론

「한 명의 23 세의 젊은이가, 시골에서 1 년 반 지낸 것만으로, 근대 과학 전체를 만들어냈다」 — 과학사에서의 상징적인 순간. 나중에 수학적으로도 물리학적으로도 세련 되지만, 발견의 씨앗은 이 시기에 집중되어 있다.

유율법 — 뉴턴의 미적분

뉴턴의 미적분은 「유율법 (method of fluxions)」 이라 불린다:

• 유량 (fluent) — 시간과 함께 변화하는 양 (현대의 함수 y(t))
• 유율 (fluxion) — 유량의 시간 변화율 (현대의 dy/dt). 표기는 ẏ (y 위에 점)
• 역유율법 — 유율에서 유량을 구한다 (현대의 부정 적분)

발상은 본질적으로 역학적 · 운동학적 이며, 양이 시간과 함께 「흐른다」 고 이미지한다. 이는 [프린키피아] 의 물리학과 직결되어 있다. 「만유인력의 수학」 으로서 미적분을 발명했다.

뉴턴의 수학적 업적

이항 정리의 일반화 (1665 년경)

뉴턴은 월리스의 저작을 읽고, (1 + x)^n 을 n 이 임의의 실수 (음 · 분수) 인 경우에 확장하는 공식 을 발견했다:

(1 + x)^n = 1 + nx + n(n-1)/2! x² + n(n-1)(n-2)/3! x³ + …

n 이 양의 정수라면 유한 항, 그 외라면 무한 급수. 이는 무한 급수론의 출발점 이 되었다.

무한 급수법

1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + …, log(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - …, sin x, cos x, arcsin x 의 급수 전개 등, 많은 함수를 무한 급수로 표시하는 방법을 체계화. 현대 해석학의 기본 도구.

뉴턴법

대수 방정식 f(x) = 0 의 수치 해를 반복으로 구하는 방법:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f’(x_n)

뉴턴 자신은 1669 년의 논문에서 원형을 보였다. 오늘 「뉴턴-랩슨법」 이라고도 불리며, 수치 계산의 기본 도구.

삼차 곡선의 분류

[곡선의 매거에 대해] (1704) 에서, 삼차 대수 곡선을 72 종류로 분류 했다 (후에 1 종류 추가, 73 종류). 대수 기하학의 선구적 연구.

고트프리트 라이프니츠 — 「만능인」

고트프리트 빌헬름 라이프니츠 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) 는 독일의 철학자 · 수학자 · 과학자 · 외교관. 뉴턴과 나란히 미적분법의 독립된 발견자 이며, 현대까지 사용되는 기호 ∫ (인테그럴) 와 d/dx 를 도입했다.

또한 이진법, 계산기의 설계, 형식 논리학의 선구, 조합론 등, 현대의 컴퓨터 과학의 많은 기초 개념을 예시한 「만능인 (universal genius)」 . 철학적 측면 (모나드론, 예정 조화, 최선 세계설) 도 별도로 크다.

생애의 요점

• 1646 년 7 월 1 일 — 라이프치히에서 탄생. 아버지 프리드리히는 라이프치히 대학 도덕 철학 교수
• 1653 — 아버지 사망 (7 세). 아버지의 장서를 독학으로 읽고, 라틴어를 마스터
• 1661 — 15 세에 라이프치히 대학 입학, 법학 · 철학을 배움
• 1666 — [결합법론 (De Arte Combinatoria)] 을 20 세에 출판
• 1667 — 알트도르프 대학에서 법학 박사호
• 1672-76 — 파리 체재. 하위헌스에게서 수학을 배움. 미적분을 발견 (1675 년경)
• 1676 년 ~ — 하노버 궁정에 외교관 · 도서관장 으로 섬김
• 1684 — 미적분 논문을 [학술 논집 (Acta Eruditorum)] 에 발표
• 1700 — 베를린 과학 아카데미 창설, 초대 총재
• 1716 년 11 월 14 일 — 하노버에서 사망, 70 세. 장례식에는 궁정에서 아무도 참여하지 않았다 고 한다

다재다능

라이프니츠가 활동한 분야: 철학 (모나드론) · 법학 (자연법) · 외교 · 신학 · 역사학 (하노버 가계보) · 언어학 (보편 언어, 한자 연구) · 광산 기술 (하르츠 광산 배수) · 계산기의 설계. 이만큼 광범한 분야에 제 1 급의 업적을 남긴 인물은 역사상 드물다.

라이프니츠의 기호 — 현대 수학의 승자

미적분의 기호에서의 라이프니츠의 완승:

기호	의미
dy/dx	미분
∫ y dx	적분 (Sum 의 S 를 늘린 문자)
d²y/dx²	이계 미분

이들은 뉴턴의 ẏ 보다 훨씬 조작적 · 대수적 이어서 다루기 쉽다. 현대의 수학은 기본적으로 라이프니츠류의 기호를 쓴다. 「dy 를 dx 로 나눈다」 는 직관적인 조작이 가능.

1684 년의 논문

[학술 논집] 에 발표한 「분수식 · 무리식 모두 장애 없이 다룰 수 있는 극대 · 극소와 접선의 새로운 방법」 (짧은 논문). 이것이 라이프니츠류 미분법의 공식 데뷔. 다음 1686 년에 적분의 논문도 발표. 이것이 유럽 대륙에 미적분을 퍼뜨린 결정적 순간.

우선권 논쟁 — 왕립 협회 vs 대륙 유럽

17 세기 말 ~ 18 세기 초의 과학사에서의 최대의 논쟁:

해	사건
1665-66	뉴턴이 미적분을 발견 (미발표)
1675	라이프니츠가 독립적으로 발견
1684	라이프니츠가 논문 발표
1693	라이프니츠가 뉴턴 앞 서한으로 교류
1699	파티오 드 뒤이에 (뉴턴파) 가 「라이프니츠는 도용했다」 라고 비난
1704	뉴턴이 겨우 미적분 관련의 공식 출판
1708	존 킬 (뉴턴파) 이 공공연히 도용설을 주장
1711	왕립 협회가 조사 위원회 설치 (실제는 뉴턴 본인이 재정)
1713	보고서 [Commercium Epistolicum] 로 뉴턴 우선으로 재정
1716	라이프니츠 사망 후에도 논쟁은 계속

현대의 연구에서는, 양자는 독립적으로 발견했다 는 것이 정설. 다만, 뉴턴 쪽이 시기적으로 이르고 (1666 년경 vs 1675 년경), 라이프니츠 쪽이 공표가 이르고 · 기호가 우수 했다.

영국 수학의 100 년의 정체

논쟁은 영국 vs 대륙 유럽의 수학계의 분단 을 낳았고, 영국 수학은 18 세기를 통해 정체 되었다 (뉴턴 기호 ẏ 에 고집했기 때문에). 한편, 대륙에서는 오일러 · 라그랑주 · 라플라스 등이 라이프니츠 기호로 미적분을 발전시켰다.

타개한 것은 19 세기 초, 케임브리지의 해석 협회 (Analytical Society) — 배비지, 허셜, 피콕 등 — 로, 라이프니츠 기호로의 전환 을 단행했다. 「표기의 승부」 가 국가의 수학 수준을 100 년 바꾸었다 는 드문 사례.

라이프니츠의 다른 업적 — 현대 컴퓨터 과학의 선구

이진법 (1679-1703)

1679 년경부터 이진법의 연구 를 시작해, 1703 년에 논문 [이진 산술의 해설] 을 발표. 중국의 역경의 괘 와 이진수의 대응에 매혹되어 있었다.

• 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111 …
• 신의 창조의 상징 (1 = 신, 0 = 무) 으로서 종교적으로도 해석
• 현대 계산기의 기초

계산기 「스텝 레코너」

1672 년부터 계산기의 설계 · 제작에 착수. 스텝 레코너 (Step Reckoner) 라 불리는, 가감승제 모두를 행할 수 있는 기계식 계산기 를 완성시켰다 (1694 년경). 파스칼의 계산기 (가감만) 를 크게 넘어서는 발명. 실기는 2 대 제작 되었고, 1 대는 현존 (하노버의 라이프니츠 도서관).

형식 논리학의 선구

보편 기호론 (Characteristica Universalis) — 모든 개념을 기호로 표현하고, 논증을 기호 조작으로 행한다 는 발상.

「의논이 일어나면, 더 이상 두 명의 철학자가 더 의논할 필요는 없다. 그들은 서로에게 『계산하자』 라고 말하고, 종이와 펜을 들면 충분하다」

이는 19 세기의 불, 프레게를 거쳐, 20 세기의 러셀, 화이트헤드, 괴델, 튜링 으로 결실을 맺는 형식 논리학 과 컴퓨터 과학 의 발상의 원류.

행렬식의 선구 (1693)

로피탈 앞 서한에서 연립 일차 방정식의 해법으로서, 행렬식에 가까운 개념을 도입. 일본의 세키 다카카즈 (1683) 에 약 10 년 늦음 이지만, 독립적으로 발견.

베르누이 가 — 라이프니츠의 제자 계열

라이프니츠는 제자 야코브 베르누이, 요한 베르누이 등을 통해 미적분을 대륙 유럽에 보급시켰다:

• 야코브 베르누이 (1655-1705) — 확률론, 베르누이 수
• 요한 베르누이 (1667-1748) — 변분 문제, 최속 강하 곡선
• 로피탈 (1661-1704) — [무한소 해석] (1696) 에서 라이프니츠류 미적분의 최초의 교과서

이 대륙의 수학자들을 통해, 18 세기의 오일러 로 이어진다.

뉴턴의 또 하나의 얼굴 — 연금술과 조폐국

수학자 뉴턴의 면모와는 별도로, 그는 연금술, 성서 연대학, 신비적 해석 에 방대한 시간을 할애했다. 사후 발견된 수고의 반 이상은 신학 · 연금술 관련 이며, 경제학자 케인즈는 이를 보고 「뉴턴은 이성의 시대의 최초의 사람이 아니라, 마술의 시대의 마지막 사람이다」 라고 평했다.

1696 년 이후, 뉴턴은 왕립 조폐국 장관 (1700-1727) 으로서 정부직에 취임. 통화 개주 · 위조범 수사 에 정력적으로 임했고, 실제로 위조범을 교수형에 몰아넣은 케이스도 있다. 「수학의 거인이 조폐국에서 위조범을 쫓는다」 는 기묘한 만년.

라이프니츠의 고독한 최후

만년은 정치적 실각 — 하노버 선제후가 잉글랜드 국왕 (조지 1 세) 가 될 때, 라이프니츠는 영국 행을 허락받지 못했다. 장례식에는 궁정에서 아무도 오지 않았다. 사후 한동안 잊혀졌지만, 19 세기 이후, 근대 철학 · 근대 논리학 · 근대 수학의 세 방향에서 부활 평가 되었다.

뉴턴이 국민적 영웅으로서 웨스트민스터 사원에 매장된 것과 대조적인, 조용한 「만능인」 의 최후. 그러나 현대의 컴퓨터 과학은, 라이프니츠의 이진법과 보편 기호학의 직계 후손이다.

이 글에서 다음 글로

미적분의 탄생과 30 년의 논쟁을 따라갔다. 다음 글에서는, 미적분을 폭발적으로 발전시킨 거인들 — 오일러 (1707-1783) 와 가우스 (1777-1855) 에 들어간다. 혼자서 수학 전 분야에 공헌한 오일러, 「수학의 왕」 이라 불리는 가우스 — 18-19 세기의 두 거두가, 수학을 어떻게 대륙적인 학문으로 밀어 올렸는지, 그 거대한 업적을 따라간다.