수학에서의 여성 — 에미 뇌터와 소피 제르맹

제도와 수학의 교차점

이전 8 개 글의 수학자는, 거의 전원이 남성. 이는 「남성이 수학을 잘하기」 때문이 아니라, 19 세기까지 여성은 대학에 들어갈 수 없었기 때문에, 단순히 제도적으로 불가능 했던 결과.

그러나 제도의 벽을 가명이나 직담판으로 넘어, 세계적 업적을 남긴 여성이 있다:

• 소피 제르맹 (1776-1831) — 프랑스 혁명기, 「르 블랑 씨」 라는 남성 이름으로 학계에 잠입. 페르마 최후 정리에 공헌
• 에미 뇌터 (1882-1935) — 힐베르트가 「대학은 목욕탕이 아니다」 라고 권리를 싸워 얻어낸다. 추상 대수의 창시자, 뇌터의 정리 로 물리학의 근간에

두 사람의 생애를 통해, 수학에서의 제도와 개인의 싸움 을 따라간다.

소피 제르맹 — 「르 블랑 씨」 의 이중 생활

마리 소피 제르맹 (Marie-Sophie Germain, 1776-1831) 은 파리 태생의 수학자 · 물리학자. 프랑스 혁명의 혼란 속에서 성장 하여, 여성이 공적인 수학 교육을 받는 것이 거의 불가능한 시대에, 독학과 가명의 사용 으로 자기를 키웠다.

아르키메데스와의 만남

제르맹은 부유한 견 상인의 집에서 태어났다. 13 세에 프랑스 혁명 발발, 집에 틀어박히는 나날이 이어졌다. 아버지의 서재에서 몽튀클라 [수학사] 를 읽고, 아르키메데스가 시라쿠사 함락 시에 기하학에 몰두하고 있어 살해되었다는 일화 에 감동:

「이만큼 사람을 매료시키는 학문이라면 나도 배워야 한다」

라고 결심했다.

부모의 반대

부모는 「여성이 수학을 배우는 것은 부적절」 이라고 말리려 했고, 밤중의 촛불을 빼앗거나 난방을 끄거나 했다. 그래도 제르맹은 담요를 두르고, 얼어붙는 잉크병을 데우면서 학습을 계속했다 고 전해진다.

18 세기 말 프랑스의 「여성은 수학을 해서는 안 된다」 는 사회 규범을, 가족의 난방을 끊겨도 부수려고 한 소녀.

「르 블랑 씨」 로서의 문통

1794 년, 파리에 새롭게 설립된 에콜 폴리테크니크 (이공과 학교) 는 여성의 입학을 인정하지 않았다 (이전 글 [데카르트 · 페르마] 의 페르마 · [코시 · 아벨 · 야코비] 의 코시가 다닌 학교).

제르맹은 원 학생 앙투안 오귀스트 르 블랑 의 강의 노트를 입수하고, 그의 이름을 빌려 과제를 제출. 라그랑주는 「르 블랑 씨」 의 재능을 인정 하고, 본인을 만나고 싶다고 신청했다.

제르맹이 정체를 밝히자, 라그랑주는 놀랐지만 격려 했고, 그 후 그녀의 지도자가 되었다. 「남성의 이름으로 여성이 업적을 남긴다」 는, 셰익스피어 [십이야] 같은 이중 생활.

가우스와의 문통 — 「르 블랑 씨」 는 다시

1804 년부터, 제르맹은 가우스의 [정수론 연구] 에 촉발되어, 「르 블랑 씨」 명의로 가우스에게 수론의 질문의 편지 를 보내게 된다.

1806 년 — 아르키메데스의 기억

1806 년, 나폴레옹 군이 가우스가 사는 브라운슈바이크에 침공. 제르맹은 아르키메데스의 고사 (시라쿠사 함락으로 살해되었다) 를 떠올려, 프랑스 군의 지인을 통해 가우스의 신변 보호를 요청 했다.

후에 이것이 「마드모아젤 제르맹」 에 의해 이루어진 것이 판명되어, 가우스는 정체에 놀라, 당시의 유명한 편지에서 이렇게 쓰고 있다:

「수학에의 기호는 드물다… 그러나 여성으로서, 우리의 성에 비해 훨씬 많은 편견과 곤란에 직면하면서, 여전히 가장 난해한 연구의 밑바닥까지 스스로를 높인 인물 — 그 인물은 의심할 여지없이 가장 고귀한 용기, 비범한 재능, 우월한 천부를 가지고 있음에 틀림없다」

가우스로부터의 찬사 — 제르맹은 「수학의 왕」 에게 성별을 밝히고 인정받았다. 이중 생활이 존경으로 바뀐 순간.

페르마 최후 정리에의 공헌 — 소피 제르맹 소수

페르마 예상 (n ≥ 3 의 정수 n 에 대해 x^n + y^n = z^n 은 자연수 해를 갖지 않는다) 에 대해, 제르맹은:

1. 「제 1 의 경우」 (x, y, z 어느 것도 n 으로 나누어떨어지지 않는 경우) 에 대해, 홀수 소수 p 로 2p+1 도 소수라면 성립한다 는 것을 보였다
2. 이런 소수 p 를 현대에는 「소피 제르맹 소수」 라 부른다 (예: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, …)
3. 100 이하의 소수에 대해 「제 1 의 경우」 가 성립한다 는 것을 보였다

이는 페르마의 최후 정리에 대한 19 세기 초의 최중요 진전. 후에 디리클레 · 르장드르 · 쿠머 로 이어져, 최종적으로 1995 년 와일즈의 완전 증명 으로 이르는 도정을 개척했다.

현대 암호의 기초

소피 제르맹 소수는 암호 (Diffie-Hellman 키 교환, 강한 소수의 선정) 에서 중요. 200 년 후의 인터넷 보안의 수학적 기초의 일부가, 19 세기 초의 독학의 여성 수학자의 업적.

그러나 제르맹 자신의 증명은 르장드르가 1825 년에 출판한 논문의 각주에서 언급된 것뿐 이며, 그녀의 단저로서 발표되지 않은 채 묻혔다. 「업적의 귀속」 에서의 여성 차별의 전형 예.

클라드니 도형과 1816 년 — 여성 최초의 과학 아카데미상

1808 년, 독일의 물리학자 에른스트 클라드니 가 유리판에 모래를 뿌리고, 활로 진동시키면 모래가 아름다운 기하학 모양 (클라드니 도형) 을 그린다 는 실험을 선보였다. 프랑스 과학 아카데미는 「탄성 표면의 진동을 지배하는 수학적 법칙을 도출하라」 는 현상 문제를 냈다.

• 1811 년 · 1813 년의 2 회의 응모는 불채용
• 1815 년의 3 회째의 응모로 수상 (1816 년 정식 결정)
• 프랑스 과학 아카데미 대상을 수상한 최초의 여성

다만 그녀가 도출한 4 계 편미분 방정식은 완전하지 않고, 후에 키르히호프 등에 의해 탄성론으로서 완성되었다. 그래도 진동 방정식의 물리학적 접근을 연 선구적 업적.

제르맹의 죽음과 묻힌 업적

1831 년, 유방암으로 사망, 향년 55. 그 전년, 가우스는 1837 년에 괴팅겐 대학이 제르맹에게 명예 박사호를 수여하는 이야기 를 진행했지만, 그 6 년 전에 제르맹은 죽어 있었고, 생전에 학위를 받을 수는 없었다.

파리 시는 제르맹의 사망 증명서에 직업으로 「rentière」 (연금 생활자) 라고 기재 하고, 「수학자」 라고는 인정하지 않았다. 업적이 세계에 울리고 있어도, 여성이 공식적으로 「수학자」 라고 불리는 일은 없었다.

현재, 파리의 뤽상부르 공원 근처에 소피 제르맹 거리, 리세 소피 제르맹 (고교) 이 있다. 프랑스 과학 아카데미는 2003 년에 소피 제르맹상 을 창설. 200 년을 지나, 제르맹의 이름은 제도에 편입되었다.

에미 뇌터 — 20 세기 최대의 여성 수학자

아말리에 에미 뇌터 (Amalie Emmy Noether, 1882-1935) 는 독일 · 에를랑겐 태생의 유대계 수학자. 20 세기 최대의 여성 수학자 로 널리 인정받고 있으며, 추상 대수학의 창시자 중 한 명 이고, 또한 물리학에 「뇌터의 정리」 (대칭성과 보존칙의 대응) 라는 불멸의 공헌을 남겼다.

「현대 대수 (Modern Algebra)」 의 이름 아래 환론 · 아이디얼론 · 표현론을 체계화 한 그녀는, 판 데르 바르덴 [현대 대수] (1930-31) 를 통해 20 세기 대수학의 표준을 확립 했다.

아인슈타인은 그녀의 추도문에서:

「과거의 여성 수학자 중에서 가장 의의 깊은 창조적인 수학적 천재」

라고 찬양했다.

뇌터의 성장

• 1882 년 3 월 23 일 — 바이에른 · 에를랑겐에서 탄생. 아버지 막스 뇌터는 에를랑겐 대학의 수학 교수 (대수 곡선론의 전문가)
• 여성이 대학에 진학할 수 없는 시대에 자랐지만, 1900 년부터 여자 학생으로서 청강이 인정되게 되어, 에를랑겐 대학에서 배웠다
• 1907 년 학위 취득 (지도 교관: 파울 고르단), 학위 논문은 「3 변수 3 차 형식의 불변식의 완전계에 대해」 (본인은 후에 「쓰레기」 라고 평했다)
• 1910 년대에 작풍을 전환, 구조론적 · 추상적인 접근으로 이행

괴팅겐으로 — 힐베르트의 초빙과 「대학은 목욕탕이 아니다」

1915 년, 힐베르트와 펠릭스 클라인이 뇌터를 괴팅겐 대학에 초빙. 그러나 당시의 독일의 대학에서는 여성은 정식으로 교수직에 취임할 수 없는 법률 이 있었다.

힐베르트는 「하빌리타치온 (대학 강사 자격) 을 여성에게 주어서는 안 된다」 는 학내 반대파에 대해, 유명한 에피소드:

「대학은 목욕탕이 아니다, 남녀를 나눌 필요는 없다」

라고 발언했다. 그러나 결국 하빌리타치온은 인정되지 않고, 힐베르트의 이름을 빌린 「힐베르트의 강의」 로서, 실질은 뇌터가 가르치는 형태를 취했다. 「남성의 이름을 빌린다」 는 점에서, 100 년 전의 제르맹의 「르 블랑 씨」 와 구조적으로 같다.

• 1919 년, 겨우 하빌리타치온이 인가
• 1922 년, 「비공식 특별 교수」 (unofficial extraordinary professor) 가 되지만, 급여는 미미하다

뇌터의 정리 (1918) — 물리학의 근간

힐베르트와 일반 상대성 이론의 보존칙을 논의하기 위해, 뇌터는 라그랑지안의 연속적 대칭 변환과 보존칙의 대응 관계를 일반적으로 증명 했다.

뇌터의 제 1 정리

「물리계가 연속적 대칭 변환 (Lie 군 작용) 아래에서 작용이 불변이라면, 대응하는 보존량이 존재한다」

구체 예

• 시간 병진 대칭성 → 에너지 보존칙
• 공간 병진 대칭성 → 운동량 보존칙
• 공간 회전 대칭성 → 각운동량 보존칙
• 게이지 변환 대칭성 → 전하 보존칙

현대의 소립자 물리 (표준 모형), 장의 양자론, 우주론의 전체가 뇌터의 정리 위에 서 있다. 「대칭성 = 보존칙」 이라는 현대 물리의 중심 원리가, 한 명의 여성 수학자의 논문에서 태어났다.

「그녀가 만약 순수 수학에만 전념하고 있었다면, 물리학의 역사는 다른 길을 걸었을 지도 모른다」.

추상 대수의 체계화

1920 년대, 뇌터는 가환 환론을 근본적으로 재구축:

• 뇌터 환 — 아이디얼이 오름 사슬 조건을 만족하는 환 (유한 생성 아이디얼). 다항식 환 · 정수 환이 이에 해당
• 뇌터의 기저 정리 — 뇌터 환상의 다항식 환도 뇌터 (힐베르트 기저 정리의 일반화)
• 아이디얼 분해 — 라스커-뇌터의 주분해 정리
• 데데킨트 정역 — 대수체의 정수 환의 구조를 일반화

이들은 1930 년에 바르텔 렌데르트 판 데르 바르덴 이 [Moderne Algebra] (현대 대수) 로서 체계화하여, 20 세기 대수의 표준 텍스트 가 되었다. 동서의 서문에 「이는 에미 뇌터와 에밀 아르틴의 강의에 기초한다」 라고 명기되어 있다.

「교과서의 서문에 이름이 실린다」 는 형태로의 인지. 학계 내에서의 위치는 비공식이었지만, 그 영향력은 20 세기 수학의 전체를 규정 했다.

「뇌터의 소년들」

• 판 데르 바르덴 — [현대 대수] 의 저자
• 알렉산드로프 — 러시아의 위상 기하학자. 1928-29 년 괴팅겐에 체재, 뇌터와 논의를 거듭해 대수적 위상 기하학 (algebraic topology) 의 기초 를 함께 만들었다
• 호프 — 위상 기하학

이 제자 집단은 「뇌터의 소년들 (Noether boys)」 이라 불렸다. 여성 교사가 남성 제자 군을 키우는, 당시로서는 매우 드문 구도. 「그녀는 괴팅겐의 비공식 총장이었다」 (헤르만 바일).

뇌터의 성격

• 강의는 열정적, 종종 결론에 도달하기 전에 시간 절약. 학생에게 「다음 회 계속」 이라고 알리고 떠난다
• 복장에 무관심, 식사도 종종 잊는다
• 큰 체격에 큰 소리로 웃고, 밝고 쾌활한 성격
• 남성 중심의 학계에서의 편견을 초월하는 존재감

학문에의 집중과, 쾌활함의 동거. 「전형적인 추상적 사상가」 의 하나의 완성형.

나치로부터의 망명과 요절

1933 년, 나치 정권이 「유대인 공무원의 추방법」 을 시행. 뇌터는 유대인 · 여성 · 사회주의자 · 평화주의자 라는 4 중의 타깃 이었다.

괴팅겐을 쫓겨나, 1933 년에 미국 펜실베이니아 주의 브린 마 대학 (여자대) 로 건너간다. 브린 마 대학에서는 교수직을 얻고, 프린스턴 고등 연구소 에서도 정기적으로 강연을 했다.

1935 년 4 월, 난소 종양의 수술 을 받아, 술후의 감염증으로 급사, 향년 53 세. 「망명이 목숨에 시간에 맞았다」 지만, 망명지에서의 이른 죽음.

아인슈타인의 추도

헤르만 바일은 추도 연설에서 뇌터의 업적을 이야기하고, 아인슈타인은 [뉴욕 타임스] 에:

「그녀는 여성 고등 교육이 시작된 이래 가장 의의 깊은 창조적인 수학적 천재이다」

라는 추도문을 기고했다 (1935 년 5 월 4 일자). 20 세기 최대의 물리학자가, 20 세기 최대의 여성 수학자를, 사후에 대중지에서 공식으로 찬양한 상징적 순간.

현대로의 영향

제르맹 → 현대

• 소피 제르맹 소수 — 현대 암호의 기초
• 소피 제르맹상 — 2003 년, 프랑스 과학 아카데미 창설
• 리세 소피 제르맹, 소피 제르맹 거리 — 파리의 거리에 이름이 남는다

뇌터 → 현대

• 물리학 — 표준 모형 · 장의 양자론의 기반
• 대수 기하 — 스킴 이론 · 연접 층 이론의 전체가 뇌터 환론을 전제
• 화학 — 군론적 대칭성 (결정학 · 분자 구조)
• Emmy Noether Lecture (AWM), Emmy Noether-Programm (독일) 등, 세계의 여성 연구자 지원 제도에 이름을 남긴다

「20 세기의 전 물리학과 전 대수학의 기초가, 한 명의 여성의 논문과 강의에서 나왔다」 — 이 사실만으로, 수학사에서의 여성의 위치를 바꾸는 결정적인 업적.

제르맹에서 뇌터로 — 100 년의 여성 수학자사

제르맹 (1776-1831) 에서 뇌터 (1882-1935) 까지, 100 년의 간격. 이 100 년으로 상황은 조금 변했지만, 본질적인 차별 구조 는 변하지 않았다:

• 공통점 — 제도의 벽 (대학 입학 금지 · 교수직 금지), 남성 이름 · 남성 명의에서의 활동, 사후의 늦은 평가
• 변화 — 제르맹은 「rentière」 라고 기재된 사망 증명서, 뇌터는 아인슈타인의 추도문이 NYT 에 실린다

100 년으로 「보이지 않았던 여성이, 사후에 세계에 공식으로 인정받는」 단계까지 나아갔다. 그러나 생전의 「교수직」 의 대우는, 여전히 「비공식」 「무급」 의 영역을 벗어나지 않았다.

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수학에서의 여성의 계보를 따라갔다. 다음 글에서는, 20 세기의 계산과 증명의 거인들 — 앨런 튜링 (1912-1954) 과 앤드루 와일즈 에 들어간다. 컴퓨터 과학을 창시한 튜링의 41 세에서의 죽음, 페르마 최후 정리를 1994 년에 증명한 와일즈 의 7 년간의 고독한 일 — 20 세기의 구체적인 문제를 푼 수학자들을 따라간다.